3.327 \(\int \frac {\text {sech}^5(c+d x)}{a+b \sinh ^2(c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=138 \[ \frac {\left (3 a^2-10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{8 d (a-b)^3}-\frac {b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \sinh (c+d x)}{\sqrt {a}}\right )}{\sqrt {a} d (a-b)^3}+\frac {\tanh (c+d x) \text {sech}^3(c+d x)}{4 d (a-b)}+\frac {(3 a-7 b) \tanh (c+d x) \text {sech}(c+d x)}{8 d (a-b)^2} \]

[Out]

1/8*(3*a^2-10*a*b+15*b^2)*arctan(sinh(d*x+c))/(a-b)^3/d-b^(5/2)*arctan(sinh(d*x+c)*b^(1/2)/a^(1/2))/(a-b)^3/d/
a^(1/2)+1/8*(3*a-7*b)*sech(d*x+c)*tanh(d*x+c)/(a-b)^2/d+1/4*sech(d*x+c)^3*tanh(d*x+c)/(a-b)/d

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.16, antiderivative size = 138, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3190, 414, 527, 522, 203, 205} \[ \frac {\left (3 a^2-10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{8 d (a-b)^3}-\frac {b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \sinh (c+d x)}{\sqrt {a}}\right )}{\sqrt {a} d (a-b)^3}+\frac {\tanh (c+d x) \text {sech}^3(c+d x)}{4 d (a-b)}+\frac {(3 a-7 b) \tanh (c+d x) \text {sech}(c+d x)}{8 d (a-b)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sech[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2),x]

[Out]

((3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*(a - b)^3*d) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sq
rt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^3*d) + ((3*a - 7*b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*(a - b)^2*d) + (Sech[c + d*x]^3*T
anh[c + d*x])/(4*(a - b)*d)

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 414

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*
(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomial
Q[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 3190

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e +
f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\text {sech}^5(c+d x)}{a+b \sinh ^2(c+d x)} \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (1+x^2\right )^3 \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac {\text {sech}^3(c+d x) \tanh (c+d x)}{4 (a-b) d}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {-3 a+4 b-3 b x^2}{\left (1+x^2\right )^2 \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{4 (a-b) d}\\ &=\frac {(3 a-7 b) \text {sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{8 (a-b)^2 d}+\frac {\text {sech}^3(c+d x) \tanh (c+d x)}{4 (a-b) d}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {3 a^2-7 a b+8 b^2+(3 a-7 b) b x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{8 (a-b)^2 d}\\ &=\frac {(3 a-7 b) \text {sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{8 (a-b)^2 d}+\frac {\text {sech}^3(c+d x) \tanh (c+d x)}{4 (a-b) d}-\frac {b^3 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{(a-b)^3 d}+\frac {\left (3 a^2-10 a b+15 b^2\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1+x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{8 (a-b)^3 d}\\ &=\frac {\left (3 a^2-10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{8 (a-b)^3 d}-\frac {b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \sinh (c+d x)}{\sqrt {a}}\right )}{\sqrt {a} (a-b)^3 d}+\frac {(3 a-7 b) \text {sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{8 (a-b)^2 d}+\frac {\text {sech}^3(c+d x) \tanh (c+d x)}{4 (a-b) d}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.55, size = 139, normalized size = 1.01 \[ \frac {2 \sqrt {a} \left (3 a^2-10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\tanh \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\sqrt {a} \left (3 a^2-10 a b+7 b^2\right ) \tanh (c+d x) \text {sech}(c+d x)+8 b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a} \text {csch}(c+d x)}{\sqrt {b}}\right )+2 \sqrt {a} (a-b)^2 \tanh (c+d x) \text {sech}^3(c+d x)}{8 \sqrt {a} d (a-b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sech[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2),x]

[Out]

(8*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Csch[c + d*x])/Sqrt[b]] + 2*Sqrt[a]*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[Tanh[(c + d*x)
/2]] + Sqrt[a]*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x] + 2*Sqrt[a]*(a - b)^2*Sech[c + d*x]^3*Tanh
[c + d*x])/(8*Sqrt[a]*(a - b)^3*d)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.64, size = 5500, normalized size = 39.86 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^5/(a+b*sinh(d*x+c)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (3
*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*sinh(d*x + c)^7 + (11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (21*(3*a^2 - 10*a*b + 7*
b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*(7*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)
^3 + (11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - (11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^3 +
(35*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 10*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 11*a^2 + 26*a*b
- 15*b^2)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh
(d*x + c)^3 - 3*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - 2*(b^2*cosh(d*x + c)^8 + 8*b^2*cos
h(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + b^2*sinh(d*x + c)^8 + 4*b^2*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*b^2*cosh(d*x + c)^2 + b^2)*sin
h(d*x + c)^6 + 6*b^2*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*b^2*cosh(d*x + c)^3 + 3*b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35
*b^2*cosh(d*x + c)^4 + 30*b^2*cosh(d*x + c)^2 + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*b^2*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*b^2*cosh
(d*x + c)^5 + 10*b^2*cosh(d*x + c)^3 + 3*b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*b^2*cosh(d*x + c)^6 + 15*b^
2*cosh(d*x + c)^4 + 9*b^2*cosh(d*x + c)^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(d*x + c)^7 + 3*b^2*cosh(d
*x + c)^5 + 3*b^2*cosh(d*x + c)^3 + b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/a)*log((b*cosh(d*x + c)^4 + 4*b*
cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + b*sinh(d*x + c)^4 - 2*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*b*cosh(d*x + c)^2 - 2*a
- b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(b*cosh(d*x + c)^3 - (2*a + b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + 4*(a*cosh(d*x + c)^3 +
3*a*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + a*sinh(d*x + c)^3 - a*cosh(d*x + c) + (3*a*cosh(d*x + c)^2 - a)*sinh(d*x
+ c))*sqrt(-b/a) + b)/(b*cosh(d*x + c)^4 + 4*b*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + b*sinh(d*x + c)^4 + 2*(2*a - b)
*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(b*cosh(d*x + c)^3 + (2*a - b)*cosh(d
*x + c))*sinh(d*x + c) + b)) + ((3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d
*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c
)^6 + 4*(7*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^2
- 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 6*(3*a^2 - 1
0*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 30*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^
2)*cosh(d*x + c)^2 + 9*a^2 - 30*a*b + 45*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^5
+ 10*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 +
4*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(3*a^2 - 10
*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 9*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*sinh(d
*x + c)^2 + 3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2 + 8*((3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^
2)*cosh(d*x + c)^5 + 3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*si
nh(d*x + c))*arctan(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c)) - (3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c) + (7*(3*a^2 - 10*a
*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh
(d*x + c)^2 - 3*a^2 + 10*a*b - 7*b^2)*sinh(d*x + c))/((a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a
^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*sinh(d*x + c
)^8 + 4*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x +
c)^2 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 6*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^
4 + 8*(7*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^
3)*d*cosh(d*x + c)^2 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3
)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b
^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^3 - 3*a^2
*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 9*(a^3 - 3*a^2*
b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^3 - 3*a^2*b + 3
*a*b^2 - b^3)*d + 8*((a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*c
osh(d*x + c)^5 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(
d*x + c))*sinh(d*x + c)), 1/4*((3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x
+ c)*sinh(d*x + c)^6 + (3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*sinh(d*x + c)^7 + (11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^5 +
(21*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*(7*(3*a^2 - 10*a
*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - (11*a^2 - 26*a*b + 1
5*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (35*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 10*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x
+ c)^2 - 11*a^2 + 26*a*b - 15*b^2)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(11*a^
2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - 4*(b^2*co
sh(d*x + c)^8 + 8*b^2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + b^2*sinh(d*x + c)^8 + 4*b^2*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*b^2*c
osh(d*x + c)^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 6*b^2*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*b^2*cosh(d*x + c)^3 + 3*b^2*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*b^2*cosh(d*x + c)^4 + 30*b^2*cosh(d*x + c)^2 + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*b^2*cosh(d
*x + c)^2 + 8*(7*b^2*cosh(d*x + c)^5 + 10*b^2*cosh(d*x + c)^3 + 3*b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*b^
2*cosh(d*x + c)^6 + 15*b^2*cosh(d*x + c)^4 + 9*b^2*cosh(d*x + c)^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(
d*x + c)^7 + 3*b^2*cosh(d*x + c)^5 + 3*b^2*cosh(d*x + c)^3 + b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(b/a)*arcta
n(1/2*sqrt(b/a)*(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c))) - 4*(b^2*cosh(d*x + c)^8 + 8*b^2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^
7 + b^2*sinh(d*x + c)^8 + 4*b^2*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*b^2*cosh(d*x + c)^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 6*b^2*cosh
(d*x + c)^4 + 8*(7*b^2*cosh(d*x + c)^3 + 3*b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*b^2*cosh(d*x + c)^4 + 30
*b^2*cosh(d*x + c)^2 + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*b^2*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*b^2*cosh(d*x + c)^5 + 10*b^2*cosh
(d*x + c)^3 + 3*b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*b^2*cosh(d*x + c)^6 + 15*b^2*cosh(d*x + c)^4 + 9*b^2
*cosh(d*x + c)^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(d*x + c)^7 + 3*b^2*cosh(d*x + c)^5 + 3*b^2*cosh(d*
x + c)^3 + b^2*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(b/a)*arctan(1/2*(b*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)*sinh(
d*x + c)^2 + b*sinh(d*x + c)^3 + (4*a - b)*cosh(d*x + c) + (3*b*cosh(d*x + c)^2 + 4*a - b)*sinh(d*x + c))*sqrt
(b/a)/b) + ((3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c
)^7 + (3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(3*a^2 -
10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*c
osh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 6*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh
(d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 30*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 +
9*a^2 - 30*a*b + 45*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(3*a^2 - 10*a*
b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(3*a^2 - 10*a*b +
15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(
d*x + c)^4 + 9*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 3*a^2 -
10*a*b + 15*b^2 + 8*((3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^5 +
3*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*arctan(
cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c)) - (3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c) + (7*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x
+ c)^6 + 5*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(11*a^2 - 26*a*b + 15*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^2
+ 10*a*b - 7*b^2)*sinh(d*x + c))/((a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b
^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^3 - 3*a^2
*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^3 - 3*a^2*
b + 3*a*b^2 - b^3)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 6*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^3 - 3*a^
2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 +
2*(35*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^2
+ 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^2
+ 8*(7*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^
3 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*
d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 9*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d
*cosh(d*x + c)^2 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d + 8*
((a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^5 + 3*(
a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x +
c))]

________________________________________________________________________________________

giac [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: TypeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^5/(a+b*sinh(d*x+c)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2:=int(sage0,x):;OUTPUT:Warn
ing, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was
done assuming [a,b]=[31,78]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This
might be wrong.The choice was done assuming [a,b]=[85,31]Warning, need to choose a branch for the root of a p
olynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b]=[46,18]Warning, need to choo
se a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,
b]=[-27,57]Undef/Unsigned Inf encountered in limitEvaluation time: 0.63Limit: Max order reached or unable to m
ake series expansion Error: Bad Argument Value

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.15, size = 1023, normalized size = 7.41 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(d*x+c)^5/(a+b*sinh(d*x+c)^2),x)

[Out]

1/d*b^3/(a-b)^3*a/(-b*(a-b))^(1/2)/((2*(-b*(a-b))^(1/2)-a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(-b*(
a-b))^(1/2)-a+2*b)*a)^(1/2))-1/d*b^3/(a-b)^3/((2*(-b*(a-b))^(1/2)-a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)
/((2*(-b*(a-b))^(1/2)-a+2*b)*a)^(1/2))-1/d*b^4/(a-b)^3/(-b*(a-b))^(1/2)/((2*(-b*(a-b))^(1/2)-a+2*b)*a)^(1/2)*a
rctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(-b*(a-b))^(1/2)-a+2*b)*a)^(1/2))+1/d*b^3/(a-b)^3*a/(-b*(a-b))^(1/2)/((2*(-b*(
a-b))^(1/2)+a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(-b*(a-b))^(1/2)+a-2*b)*a)^(1/2))+1/d*b^3/(a-b)^
3/((2*(-b*(a-b))^(1/2)+a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(-b*(a-b))^(1/2)+a-2*b)*a)^(1/2))-1/d
*b^4/(a-b)^3/(-b*(a-b))^(1/2)/((2*(-b*(a-b))^(1/2)+a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(-b*(a-b)
)^(1/2)+a-2*b)*a)^(1/2))-5/4/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^7*a^2+7/2/d/(a-b)^3/(ta
nh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^7*a*b-9/4/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*
c)^7*b^2+3/4/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5*a^2-1/2/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c
)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5*a*b-1/4/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5*b^2-3/4/d/(
a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3*a^2+1/2/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/
2*d*x+1/2*c)^3*a*b+1/4/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3*b^2+5/4/d/(a-b)^3/(tanh(1/2
*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*a^2-7/2/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*a*b+9
/4/d/(a-b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b^2+3/4/d/(a-b)^3*arctan(tanh(1/2*d*x+1/2*c))*a^2
-5/2/d/(a-b)^3*arctan(tanh(1/2*d*x+1/2*c))*a*b+15/4/d/(a-b)^3*arctan(tanh(1/2*d*x+1/2*c))*b^2

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \frac {{\left (3 \, a^{2} e^{c} - 10 \, a b e^{c} + 15 \, b^{2} e^{c}\right )} \arctan \left (e^{\left (d x + c\right )}\right ) e^{\left (-c\right )}}{4 \, {\left (a^{3} d - 3 \, a^{2} b d + 3 \, a b^{2} d - b^{3} d\right )}} + \frac {{\left (3 \, a e^{\left (7 \, c\right )} - 7 \, b e^{\left (7 \, c\right )}\right )} e^{\left (7 \, d x\right )} + {\left (11 \, a e^{\left (5 \, c\right )} - 15 \, b e^{\left (5 \, c\right )}\right )} e^{\left (5 \, d x\right )} - {\left (11 \, a e^{\left (3 \, c\right )} - 15 \, b e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} - {\left (3 \, a e^{c} - 7 \, b e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{4 \, {\left (a^{2} d - 2 \, a b d + b^{2} d + {\left (a^{2} d e^{\left (8 \, c\right )} - 2 \, a b d e^{\left (8 \, c\right )} + b^{2} d e^{\left (8 \, c\right )}\right )} e^{\left (8 \, d x\right )} + 4 \, {\left (a^{2} d e^{\left (6 \, c\right )} - 2 \, a b d e^{\left (6 \, c\right )} + b^{2} d e^{\left (6 \, c\right )}\right )} e^{\left (6 \, d x\right )} + 6 \, {\left (a^{2} d e^{\left (4 \, c\right )} - 2 \, a b d e^{\left (4 \, c\right )} + b^{2} d e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 4 \, {\left (a^{2} d e^{\left (2 \, c\right )} - 2 \, a b d e^{\left (2 \, c\right )} + b^{2} d e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}} - 32 \, \int \frac {b^{3} e^{\left (3 \, d x + 3 \, c\right )} + b^{3} e^{\left (d x + c\right )}}{16 \, {\left (a^{3} b - 3 \, a^{2} b^{2} + 3 \, a b^{3} - b^{4} + {\left (a^{3} b e^{\left (4 \, c\right )} - 3 \, a^{2} b^{2} e^{\left (4 \, c\right )} + 3 \, a b^{3} e^{\left (4 \, c\right )} - b^{4} e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \, {\left (2 \, a^{4} e^{\left (2 \, c\right )} - 7 \, a^{3} b e^{\left (2 \, c\right )} + 9 \, a^{2} b^{2} e^{\left (2 \, c\right )} - 5 \, a b^{3} e^{\left (2 \, c\right )} + b^{4} e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^5/(a+b*sinh(d*x+c)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(3*a^2*e^c - 10*a*b*e^c + 15*b^2*e^c)*arctan(e^(d*x + c))*e^(-c)/(a^3*d - 3*a^2*b*d + 3*a*b^2*d - b^3*d) +
1/4*((3*a*e^(7*c) - 7*b*e^(7*c))*e^(7*d*x) + (11*a*e^(5*c) - 15*b*e^(5*c))*e^(5*d*x) - (11*a*e^(3*c) - 15*b*e
^(3*c))*e^(3*d*x) - (3*a*e^c - 7*b*e^c)*e^(d*x))/(a^2*d - 2*a*b*d + b^2*d + (a^2*d*e^(8*c) - 2*a*b*d*e^(8*c) +
b^2*d*e^(8*c))*e^(8*d*x) + 4*(a^2*d*e^(6*c) - 2*a*b*d*e^(6*c) + b^2*d*e^(6*c))*e^(6*d*x) + 6*(a^2*d*e^(4*c) -
2*a*b*d*e^(4*c) + b^2*d*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 4*(a^2*d*e^(2*c) - 2*a*b*d*e^(2*c) + b^2*d*e^(2*c))*e^(2*d*x)) -
32*integrate(1/16*(b^3*e^(3*d*x + 3*c) + b^3*e^(d*x + c))/(a^3*b - 3*a^2*b^2 + 3*a*b^3 - b^4 + (a^3*b*e^(4*c)
- 3*a^2*b^2*e^(4*c) + 3*a*b^3*e^(4*c) - b^4*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(2*a^4*e^(2*c) - 7*a^3*b*e^(2*c) + 9*a^2*b
^2*e^(2*c) - 5*a*b^3*e^(2*c) + b^4*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 12.05, size = 6237, normalized size = 45.20 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(cosh(c + d*x)^5*(a + b*sinh(c + d*x)^2)),x)

[Out]

(4*exp(c + d*x))/((a*d - b*d)*(4*exp(2*c + 2*d*x) + 6*exp(4*c + 4*d*x) + 4*exp(6*c + 6*d*x) + exp(8*c + 8*d*x)
+ 1)) - (6*exp(c + d*x))/((a*d - b*d)*(3*exp(2*c + 2*d*x) + 3*exp(4*c + 4*d*x) + exp(6*c + 6*d*x) + 1)) + (at
an((exp(d*x)*exp(c)*(243*a^12*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2
+ 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) + 3840*b^12*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*
b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) - 110560*a*b^11*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^
2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) - 4050*a^11*b*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a
^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) + 976143*a^2*b^10*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5
*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) - 2740050*a^3*b^9*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^
5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) + 4252775*a^4*b^8*(a^6*d^2 + b^6
*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) - 4316760*a^5*b^7*(
a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) + 3087
390*a^6*b^6*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)
^(1/2) - 1608364*a^7*b^5*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15
*a^4*b^2*d^2)^(1/2) + 615750*a^8*b^4*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*
b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) - 171000*a^9*b^3*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d
^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2) + 33075*a^10*b^2*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 +
15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^2*d^2)^(1/2)))/(81*a^13*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 +
190*a^2*b^2)^(1/2) - 256*b^13*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) - 82593*a^2*b^11
*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) + 343611*a^3*b^10*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*
b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) - 788535*a^4*b^9*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(
1/2) + 1157013*a^5*b^8*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) - 1173354*a^6*b^7*d*(9*a
^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) + 857934*a^7*b^6*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 22
5*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) - 461358*a^8*b^5*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) + 1
82890*a^9*b^4*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) - 52581*a^10*b^3*d*(9*a^4 - 60*a^
3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) + 10503*a^11*b^2*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 19
0*a^2*b^2)^(1/2) + 7968*a*b^12*d*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2) - 1323*a^12*b*d*
(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a^2*b^2)^(1/2)))*(9*a^4 - 60*a^3*b - 300*a*b^3 + 225*b^4 + 190*a
^2*b^2)^(1/2))/(4*(a^6*d^2 + b^6*d^2 - 6*a*b^5*d^2 - 6*a^5*b*d^2 + 15*a^2*b^4*d^2 - 20*a^3*b^3*d^2 + 15*a^4*b^
2*d^2)^(1/2)) - ((2*atan((b^3*exp(d*x)*exp(c)*(a*d^2*(a - b)^6)^(1/2))/(2*a*d*(a - b)^3*(b^5)^(1/2))) - 2*atan
((exp(d*x)*exp(c)*((4*(4032*a^5*d*(b^5)^(5/2) - 74990*a^10*d*(b^5)^(3/2) + 18*a^15*d*(b^5)^(1/2) + 32*a*b^9*d*
(b^5)^(3/2) + 288*a^9*b*d*(b^5)^(3/2) - 282*a^14*b*d*(b^5)^(1/2) - 288*a^2*b^8*d*(b^5)^(3/2) + 1152*a^3*b^7*d*
(b^5)^(3/2) - 2688*a^4*b^6*d*(b^5)^(3/2) - 4032*a^6*b^4*d*(b^5)^(3/2) + 2688*a^7*b^3*d*(b^5)^(3/2) - 1152*a^8*
b^2*d*(b^5)^(3/2) - 450*a^2*b^13*d*(b^5)^(1/2) + 4650*a^3*b^12*d*(b^5)^(1/2) - 21980*a^4*b^11*d*(b^5)^(1/2) +
62940*a^5*b^10*d*(b^5)^(1/2) - 121878*a^6*b^9*d*(b^5)^(1/2) + 168702*a^7*b^8*d*(b^5)^(1/2) - 172008*a^8*b^7*d*
(b^5)^(1/2) + 131112*a^9*b^6*d*(b^5)^(1/2) + 31878*a^11*b^4*d*(b^5)^(1/2) - 9852*a^12*b^3*d*(b^5)^(1/2) + 2108
*a^13*b^2*d*(b^5)^(1/2)))/(a*b^4*(a - b)^7*(a*b - a^2)*(a*d^2*(a - b)^6)^(1/2)*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3)
*(a^4 - 4*a^3*b - 4*a*b^3 + b^4 + 6*a^2*b^2)*(225*a*b^4 - 60*a^4*b + 9*a^5 - 16*b^5 - 300*a^2*b^3 + 190*a^3*b^
2)*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2
)*(a^6 - 6*a^5*b - 6*a*b^5 + b^6 + 15*a^2*b^4 - 20*a^3*b^3 + 15*a^4*b^2)) + (2*(16*b^14*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 -
6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 321*a*b^13*(a^7*d^2 +
a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 1890*a^2*
b^12*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1
/2) - 5685*a^3*b^11*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*
a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 10440*a^4*b^10*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a
^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 12690*a^5*b^9*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3
*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 10620*a^6*b^8*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b
^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 6210*a^7*b^7*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b
*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 2520*a^8*b^6*(a^7*d^2 + a*b^6
*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 685*a^9*b^5*(a^
7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 11
4*a^10*b^4*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d
^2)^(1/2) - 9*a^11*b^3*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 +
15*a^5*b^2*d^2)^(1/2)))/(a^2*b*d*(a - b)^10*(a*b - a^2)*(b^5)^(1/2)*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3)*(a^4 - 4*a
^3*b - 4*a*b^3 + b^4 + 6*a^2*b^2)*(225*a*b^4 - 60*a^4*b + 9*a^5 - 16*b^5 - 300*a^2*b^3 + 190*a^3*b^2)*(a^7*d^2
+ a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2)*(a^6 - 6*
a^5*b - 6*a*b^5 + b^6 + 15*a^2*b^4 - 20*a^3*b^3 + 15*a^4*b^2))) - (2*exp(3*c)*exp(3*d*x)*(16*b^14*(a^7*d^2 + a
*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 321*a*b^13*
(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) +
1890*a^2*b^12*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b
^2*d^2)^(1/2) - 5685*a^3*b^11*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3
*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 10440*a^4*b^10*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*
d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 12690*a^5*b^9*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^
2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 10620*a^6*b^8*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2
- 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 6210*a^7*b^7*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2
- 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) + 2520*a^8*b^6*(a^7*d
^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 685*a
^9*b^5*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^
(1/2) + 114*a^10*b^4*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15
*a^5*b^2*d^2)^(1/2) - 9*a^11*b^3*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*
b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2)))/(a^2*b*d*(a - b)^10*(a*b - a^2)*(b^5)^(1/2)*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3)*
(a^4 - 4*a^3*b - 4*a*b^3 + b^4 + 6*a^2*b^2)*(225*a*b^4 - 60*a^4*b + 9*a^5 - 16*b^5 - 300*a^2*b^3 + 190*a^3*b^2
)*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2)
*(a^6 - 6*a^5*b - 6*a*b^5 + b^6 + 15*a^2*b^4 - 20*a^3*b^3 + 15*a^4*b^2)))*((a^17*b*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^
6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 - (a^2*b^16*(a^7*d^2 + a*
b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 + (15*a^3*b
^15*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/
2))/4 - (105*a^4*b^14*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 1
5*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 + (455*a^5*b^13*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 -
20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 - (1365*a^6*b^12*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2
+ 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 + (3003*a^7*b^11*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d
^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 - (5005*a^8*b^10*(a^7*d^2 + a*
b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 + (6435*a^9
*b^9*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1
/2))/4 - (6435*a^10*b^8*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 +
15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 + (5005*a^11*b^7*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2
- 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 - (3003*a^12*b^6*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d
^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 + (1365*a^13*b^5*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*
b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 - (455*a^14*b^4*(a^7*d^2 +
a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4 + (105*a^
15*b^3*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^
(1/2))/4 - (15*a^16*b^2*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d^2 - 20*a^4*b^3*d^2 +
15*a^5*b^2*d^2)^(1/2))/4)))*(b^5)^(1/2))/(2*(a^7*d^2 + a*b^6*d^2 - 6*a^6*b*d^2 - 6*a^2*b^5*d^2 + 15*a^3*b^4*d
^2 - 20*a^4*b^3*d^2 + 15*a^5*b^2*d^2)^(1/2)) + (exp(c + d*x)*(a + 3*b))/(2*(a - b)*(a*d - b*d)*(2*exp(2*c + 2*
d*x) + exp(4*c + 4*d*x) + 1)) + (exp(c + d*x)*(3*a^2 - 10*a*b + 7*b^2))/(4*(exp(2*c + 2*d*x) + 1)*(a - b)^2*(a
*d - b*d))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)**5/(a+b*sinh(d*x+c)**2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________